تحقیق میں شماریات کا استعمال اور مرکزی رجہان

26th Issue, تحقیق وتنقید 11 Apr 21

تحقیق ایک ایسا عمل ہے جسمیں کسی مسٗلہ کو حل کرنے کے لیے باظابطہ طریقہ اپنا کر گہرائی سے معلومات حاصل کی جاتی ہے اور اسی معلومات کی بنیاد پر نتیجہ اخذ کیا جاتا ہے۔ تحقیق میں جو مشا ہدات یعنی observations اکٹھا کیے جاتے ہیں انھیں ڈاٹاdata) ) کہتے ہیں۔ یہ ڈاٹا خام موادہوتا ہے اورسیریز کی شکل میں جمع کیا جاتا ہے۔ ڈاٹا کو باضابطہ شکل دینے کیلیے ڈاٹا کی پروسیسنگ (Processing)اور Analysis کی جاتی ہے ۔اسمیں شماریات ( (Statisticsکا استعمال ہوتا ہے۔

Series:

مثال: 1 ایک کلاس میں 15بچوںنے 10میں سے اسطرح سے نمبر حاصل کیے ۔ . 2,4,5,6,8,5,3,9,7,3,2,6,7,9,6 یہ سیریز ہے۔ سیریز تین طرح کی ہوتی ہے۔

Individual Series (1

(2 Discrete Series

Continous Series (3

Individual Series میں ڈاٹا غیر منظم) ungrouped data (ہوتا ہے جبکہ Discretetinous Series اور Continous Seriesمیں ڈاٹا

گروپ میں(grouped data)ہوتا ہے ۔ مثال1 میں جس طرح سے نمبر لکھے گیے ہیں وہ Individual Seriesہے ۔اگر observationsکم ہوںتو Individual Series کا استعمال کیا جاتا ہے۔ اسمیں صرف ایک ہی متغیرvariable) (ہوتا ہے۔ لیکن اگر observationsکی تعداد بہت زیادہ ہواور بار بار دہراے جائیں تو اس صورت میں Discrete Seriesکا استعمال کیا جاتا ہے۔

مثال 1میںدیے گئیے osservationsکو ہم Discrete Seriesمیں ٹیبل1میں دیے گئے طریقے سے لکھ سکتے ہیں۔

Table 1: Discrete Series

Frequency

(f)

Marks/observations (X)

یہاں ہم نمبر کو بار بار دوہرانے کی بجاے انکی frequencyلکھ دیتے ہیں جیسے 6نمبر 3لوگوں نے حاصل کیے ہیں لحاظہ الگ الگ نا لکھ کر انکی frequency 3 لکھ دی۔ اسی طرح سے 2نمبر دو بچوں نے حاصل کیے ہیں انکی frequency 2ہو جائے گی۔اسطرح سے Discrete Series میں ہم ڈاٹا کو مختصر کر دیتے ہیں۔

Continous Series کا استعمال ڈاٹا کے بہت وسیع پیمانے پرموجودہو نے پر کیا جاتاہے مثلا اگر ہمیں امتحان میں100میں سے نمبر دینے ہیں اور کلاس میں 50بچے ہیں تو انکے نمبروںمیں ہی بہت فرق ہو سکتا ہے اور اسکو لکھنے میں discrete seriesبھی بہت وسیع ہو جاے گی لحاظہ اس کے لیے ہم continous seriesکا استعمال کرتے ہیں۔ اس سیریز میں ہم ان observationsکو اور مختصر کر سکتے ہیں۔ مثال1 کو Continous Seriesمیں ٹیبل2میں لکھا گیا ہے ۔

Table 2: Continous Sieries (Inclusive)

Number of Students

(Frequency, f)

Marks

(In Range, CI)

0 – 2

3 – 5

6 – 8

9 – above

اس سیریزمیں ایک اور مشکل بھی دور ہوجاتی ہے۔ مثلا اگر کسی بچہ کے نمبر 0.5ہیں یا 3.5ہیں یا اسی طرح سے ہیں تو ہم انکو Discrete Seriesمیں نہی لکھ سکتے لیکن Continous Series میں اس طرح کی مشکل با اسانی دور ہو جاتی ہے .

Continous Series دو طرح کی ہوتی ہے۔Inclusive Series اور Exclusive Series۔

Inclusive Seriesمیں Class Intervalکے کالم میں higher limitکو شامل کرتے ہیں(Table 2)۔

Exclusive Seriesمیں higher limit کو شامل نہی کرتے جیسا کہ ٹیبل 3 میں دیکھایا گیا ہے ۔ مثلاوہاں0سے2کے Class Interval میں ہم ان سب نمبروںکو شامل کرینگیں جو 0 یا اسے زیادہ ہیں لیکن 2 سے کم ہیں ۔ اگر کسی کے نمبر 2یا اس سے زیادہ ہیں تو اسکو 2سے 4کی کلاس میں شامل کریں گے اسی طرح جس کے نمبر 4 ہیں اسکو 4سے 6کی کلاس میں شامل کرینگے، یہ Exclusive seriesہے۔مثال 1کو Exclusive continous seriesمیں لکھاگیا ہے۔

Table 3: Exclusive Continous Series

Number of Students (Frequency)

Marks (In Range)

–

0 – 2

2 – 4

4 – 6

6 – 8

8 – 10/ above

Data Analysis:

ڈاٹا جمع کرنے کے بعد ہم اسسے نتیجے اخذ کرنے کے لیے اس کی analysisیعنی تجزیہ کرتے ہیں ۔ ڈاٹاکے انالیسس میں شماریات یعنی Statistics کا استعمال کیا جاتا ہے۔ اسمیںدو طریقے استعمال ہوتے ہیں ۔ :

Descriptive Statistical Method (1

Inferential Statistical Method (2

:Descriptive Statistical Methodsیہ ڈاٹا کو مختصر اور معلوماتی انداز میں ترتیب دینے کا طریقہ ہے۔ یہاں ڈاٹا موجود ہوتا ہے صرف اسکو واضح طور پر بیان کرنا ہوتا ہے۔ ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کی موجود ڈاٹا کی خصوصیات واضح کرنی ہوتی ہیں۔ جبکہ Inferential Statistics میں نمونہ(Sample) سے نتائج اخذ کرنا ہوتا ہے۔ وہ نتائج پوری ابادی کی نمائندگی کرتے ہیں۔

Descriptive Statisticsمیں استعمال ہونے والے عام پیمانے:اسمیں تین پیمانے عموما استعمال ہوتے ہیں۔

Measure of Central Tendency (1

Measure of Dispersion (2

Measure of Corelation (3

یہاں ہم پہلے پیمانے یعنی Central Tendencyکے بارے میں جانے گیں۔

:Central Tendency

اسکو اردو میں مرکزی رجہان بھی کہتے ہیں۔Central tendencyکے معنی ہوتے ہیںــ” ایک ایسی درمیانی valueجو پورے ڈاٹا کی نمائندگی کرے”۔ یہ ایک اوصط value ہوتی ہے۔ اسے دیکھ کر اسانی سے اندازہ لگایا جاسکتا ہے کی رجہان کیا ہے۔Central Tendencyکو ناپنے کے تین (3) طریقے ہیں۔

Mean

Median

Mode

Mean:

: یہ arithmatic averageکی ایک قسم ہے جبکہ median اور mode ،e posional averag ہیں۔Meanکو arithmatic meanکے نام سے بھی جانا جاتا ہے اسکا استعمال تحقیق میں بہت زیادہ ہوتا ہے۔کیوںکہ تحقیق میں بہت زیادہ ڈاٹا جمع کرتے ہیں۔ اس ڈاٹا کو بامعنی بنانے کے لیے مختصر شکل میں تبدیل کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ تاکہ ایک ہی valueیا index ہمارے سارے ڈاٹاکی نمائندگی کر سکے۔Mean نکالنے کے لیے ہم فارمولہ کا استعمال کرتے ہیں۔ مختلف سیریز میںیہ فارمولہ بھی بدل جاتا ہے۔

ٰIndividual Series میں mean کا فارمولہ figure 1میں دیا گیاہے ۔

Figure 1: Formula of Mean in Individual Series

Summation) کو Sigmaکے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔(

مثال 1 میں دئے گئے 15 بچوں کے 10میں سے حاصل کئے نمبرہیں ۔ 2,4,5,6,8,5,3,9,7,3,2,6,7,9,6۔یہ individual seriesہے ۔ اسکا mean نکالنے کے لیے valueکو فارمولہ 1میں رکھیں گے۔

6+9+7+6+2+3+7+9+3+5+8+6+5+4+2

——————————————————

)یہاں82 =X .۔ یہ سارے observationsکی جمع ہے، اور 15=N ہے جو سارے observationsکی کل تعداد ہے۔(

Discrete Series اور Continous Seriesمیںmeanکا فارمولہ یکساںہے جو figure 2میں دکھایا گیا ہے۔

Figure 2: Formula of Mean in Discrete and Continous Series

Discrete Series میںMeanنکالنے کا طریقہ : Discrete Series میں meanنکالنے کے لیے ہم مثال1کے ڈاٹا کو ہی استعمال کر لیتے ہیں۔ ہمارے پاس بچوں کے اسکورز ہیں۔2,4,5,6,8,5,3,9,7,3,2,6,7,9,6

Step1: Discrete Seriesبنانے کے لیے ہم ڈاٹاکو x اور f میں arrange کرلینگے۔(x انکے اسکورز ہیں اور f فریکوینسی ہے۔)

:Step 2 اب fx نکالینگے یعنی f اور x کی es coresponding valuکو multiplyکردینگے۔

Step 3: f اور fxکی valuesکو الگ الگ جوڑ لینگے جس طرح ٹیبل 4 میں دیکھایا گیا ہے۔

Table 4: Discrete Series with fx

ٰٖ

Step 4: f اور fx کی valuesکوfigure 2میں دیے گئے فارمولہ میں رکھنے پر ہم meanنکال سکتے ہیں۔

Continous Seriesمیں Meanنکالنے کا طریقہ:Continous Series میں mean ذیل طریقے سے نکالیںگے۔

مثال 2: 15 بچوں کے 50میں سے دیئے گیئے Scores ہیں ۔ 9,5,12,48,28,15,13,19,27,33,42,36,47,49,26

:Step 1 ۔ یہ کیونکہ individual Seriesہے اسکو ہم Continous Seriesمیں تبدیل کریںگے۔(اگر سیریز Continous ہی ہے تو اسکو تبدیل کرنے کی ضرورت نہی) اور Class Interval کی frequency نکالینگے۔

Step 2 : ابClass Interval کا mid Point یعنی lower اور upper limit کی درمیانی valueنکالیںگیں۔ اسکو ہم دونوںvalue کا mean بھی کہہ سکتے ہیں۔ (جیسا کہ ٹیبل 5میں دکھایا گیا ہے۔)

Step 3:اب fxکی value نکالیں گے( جسطرح ٹیبل 4میں نکالی تھی)۔ٖ

Table 5: Continous series with Mid point X

4 Step:Valuesکو فامولہ میں رکھنے پر۔

یہاں 395 = fx ہے اسلئے،

یہاں Mean 26.33أیا۔

Median:

Medianکسی بھی ڈاٹا کی سب سے درمیانی value (middle most value)ہوتی ہے .گل فرڈ کے مطابق median پیمایشی پیمانے پر وہ point ہوتا ہے جسکے پہلے بھی نصف observationsہوتے ہیں اور جسکے بعد بھی برابر کے نصفobservations ہوتے ہیں۔

ٓـ”According to Gilfred, median is defined as “that point on the scale of measurement above which are exactly halves cases and below which are the others halves.”

اسکونکالنے کا طریقہ ہے کہ سب سے پہلے سیریز کو ascending یا descending orderمیں لکھ لیں اور اسطرح جو بھی value بالکل درمیان میں أئے گی وہ ہی اسکا median کہلائیے گی۔

مثال 3: سیریز ہے 2,4,5,6,8,5,3,9,7,3,2,6,7,9,6۔

Step1: Ascending order میںلکھیں ، 2,2,3,3,4,5,5,6,6,6,7,7,8,9,9۔یہاں 6 درمیانی valueہے لحاظہ یہی medianہے۔ اسسے پہلے بھی 7 observationsہیں اور بعد میں بھی 7 observations ہی ہیں۔ اس سیریز میں medianکو ہم فارمولہ کے ذریعے بھی نکال سکتے ہیں جو figure 3میں دیا گیا ہے۔

(n Median for odd number of observatioٖ(Figure 3:

یہاں n=no. of observations= 15

فارمولہ میں رکھنے پر ،

سیریز میں 8th termہے 6 وہ ہی اسکا medianہے۔

اگر سیریز میںobservations even ہیں تو درمیان کی دونوں values کو جمع کرکے 2سے تقسیم کردینگے۔ جیسے 2,2,3,3,4,5,5,6,6,6,7,7,8,9

سیریز ہے ۔ یہاں 5 اور 6 درمیانی valueہیں انکو جمع کرکے 2 سے تقسیم کرنے پر 5.5أے گا وہ ہی اسکا median ہوگا۔

(5+6) /2 = Median

=11/2=5.5

ؑeven observationsمیں بھی median کوفارمولہ سے نکال سکتے ہیں۔جیسا کہ figure 4میں فارمولہ دیا گیا ہے۔

Figure 4: Median for Even Observations

یہاں 14 =n ہے ۔ اسکو فارمولہ میں رکھنے پر ،

( یہاں 7th term ہے 5اور 8th term ہے 6)۔

Discrete series میںMedianنکالنے کا طریقہ : discrete seriesمیں median نکالنے کے لیے مثال 4 میں طریقہ دیا گیا ہے۔

مثال :4 سیریز ہے ۔2,2,3,3,4,5,5,6,6,6,7,7,8,9

Step 1: اسکو discrete series میں بدل دینگے۔(اگر سیریز discrete ہی ہے تو کوئی ضرورت نہی)۔

Step 2: Cumulative frequency , Cfنکالینگے۔ Cf نکالنے کے لیے ہم ہراگے أنے والی frequencyکو پہلے والی frequencyمیں جوڑ دیتے ہیں۔جیسا کہ ٹیبل 6میں دکھایا گیا ہے ۔

Table 6: Discrete series with cf in even observations

کیونکہ observations یہاں even numbersمیں ہیں لحاظہ فارمولہ even numberکا ہی استعمال ہوگاجو figure 4میں دیا گیا ہے۔

( n=no. of observations= 14)

فارمولہ میں رکھنے پر،

)یہاںCfمیں 7th termکی X میں corresponding value، 5 ہے اور 8th term 7کے بعد ہے لیکن 10سے پہلے ہے۔اس کیس میں 10کی corresponding value X میںلی گئی ہے جو 6ہے ۔)

Continous Seriesمیں Medianنکالنے کا طریقہ: ایک Series ہے جسمیں observationsہیں ۔ 9,5,12,48,28,15,13,19,27,33,42,36,47,49,26

Step1: سیریز کو continous seriesمیں تبدیل کرینگے ۔(اگر سیریز continousہی ہے تو تبدیل کرنے کی ضرورت نہی۔)

Step 2:Cumulative frequency (cf)نکالیں جیسا کہ ٹیبل 7میں نکالا گیا ہے۔

Table 7: Continous Series with cf

Step3: اب ہمیں معلوم کرنا ہے کہmedian کہاں ہو سکتاہے ۔ اسکو فارمولہ کے ذریعے معلوم کرسکتے ہیں۔ جوfigure 5میں دیا گیا ہے۔

Figure 5: Formula to find the median

( یہاں 15 = n ہے۔)

7.5th termہماری cf 9کی کلاس (20 – 30)میں ہوگی کیونکہ یہ cf 6کے بعد ہے لیکن cf 9سے پہلے ہے لحاظہ cf 9 کو ہی نشان لگالینگے۔

:Step 4ا ب Continous seriesمیں Mediaکا فارمولہ استعمال کرینگے جو Figure 6میں دیا گیا ہے۔

ٖFigure 6: Formula of Median in Continous Series

ٹیبل7 میں، 20 = of that class lower limit = L

of the preceding class = 6 frequency= cf p

i = class interval =10

n/2 = no. of observations =7.5

f = frequency 15

valuesکو فارمولہ میں رکھنے پر،

یہاں median 21أیا جو20 – 30 کے کلاس میں ہی ہے یعنی medianصحیح ہے۔

Median کا استعمال اس وقت ہوتا ہے جب observationsمیں کوئی outlier ہو یعنی کو ئی ایک observationباقی تمام obsrvationsسے بہت زیادہ مختلف ہو ، بہت زیادہ ہو یا بہت کم ہو ،کیونکہ اسطرح کا ایک ہی observation پورے observations کی meanکو متعاثر کردیتاہے اسلئے اس طرح کےobservations میں meanنکالنے کی بجائے median نکالتے ہیں۔

:Mode

Modeکسی بھی ڈاٹا میں سب سے زیادہ پایا جانے والا observation ہوتا ہے یعنی اس کی فریکونسی سب سے زیادہ ہوتی ہے۔ اسکو ہم اسطرح سمجھ سکتے ہیں کہ ایک سیریز ہے 1,2,4,6,4,6,9,4,5,8,2 ، اسمیں 4 modeہے کیونکہ یہی وہ نمبر ہے جسکی frequency سب سے زیادہ ہے۔ ایک سیریز میں ایک سے زیادہ بھی mode ہو سکتے ہیں جیسے 1,2,4,2,5,5,2,6,8,5,3۔یہاں 2 mode اور 5ہیں۔کبھی کبھی دو سے زیادہ بھی ہوتے ہیں۔ اسطرح اسے Bimodal /multimodal کہتے ہیں۔

Discrete Seriesمیں Mode: ایک Discreteسیریز ہے جو ٹیبل 8میں دکھائی گئی ہے ۔

Table 8: Discrete Series with Mode

frequency (f)

No. of observation (x)

یہاں 11 modeہوگا کیونکہ11کی frequency ہی سب سے زیادہ ہے۔

Continous Seriesمیں Mode: اس سیریز میں Modeنکالنے کا طریقہ ہے کی سب سے زیادہ frequency والے Class intervalکو منتخب کرلیں ۔اسکوf1مان لیجیے ۔ اب fi سے پہلے کلاس کی فریکوینسی f0 اوربعدکی کلاس کیفریکوینسی f2 ہوجائیگی۔ جیسا کی ٹیبل 9میں دکھایا گیا ہے۔

Table 9: Continous series with frequency f1, f0 and f2

Continous seriesمیںModeکا فارمولہ figure 7 میں دیا گیا ہے۔

Figure 7: Mode in Continous series

یہاں ۔ L = lower limit of the class interval with highest frequency = 20

f1 = Highest frequency = 9

f0 = Frequency of the previos class = 4

f2 = Frequency of the next class = 2

i = Class interval = 10

figure 7میں دئے گئے فارمولہ میں ان valuesکو رکھنے پر۔

یہان mode24.16أیا یعنی CI 20سے 30کے درمیان ہی ہے۔

Mean, Medianاور Mode کے درمیان تعلق:ہم mean, Medianاور modeکے درمیان تعلق بھی معلوم کرسکتے ہیں جیسا کہ نیچے دئے گئے فارمولہ کے زریعے دیکھا جاسکتا ہے۔

٭٭٭